Exercices et corrigés

Etude de Chimie

Étude du Modèle Atomique de Bohr

Étude du Modèle Atomique de Bohr

Comprendre l’Étude du Modèle Atomique de Bohr

Nous allons explorer les principes fondamentaux de la chimie quantique en calculant l’énergie d’un électron dans un atome d’hydrogène. L’atome d’hydrogène est le système le plus simple pour étudier la mécanique quantique car il contient un seul électron. L’utilisation de l’équation de Schrödinger permet de déterminer les niveaux d’énergie quantiques de cet électron.

Données nécessaires:

1. Charge de l’électron, \( e = -1.602 \times 10^{-19} \) Coulombs
2. Masse de l’électron, \( m_e = 9.109 \times 10^{-31} \) kg
3. Constante de Planck, \( h = 6.626 \times 10^{-34} \) Joule·s
4. Permittivité du vide, \( \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \) F/m
5. Numéro atomique de l’hydrogène, \( Z = 1 \)

Question:

Calculer l’énergie du premier niveau d’énergie (niveau fondamental, \( n = 1 \)) de l’électron dans un atome d’hydrogène.

Correction : Étude du Modèle Atomique de Bohr

1. Formule Utilisée

Dans le modèle de Bohr, l’énergie de l’électron dans le niveau \( n \) est donnée par :

\[ E_n = -\frac{m_e \, e^4 \, Z^2}{8\, \varepsilon_0^2 \, h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]

Pour \( Z = 1 \) et \( n = 1 \), cette formule se simplifie en :

\[ E_1 = -\frac{m_e \, e^4}{8\, \varepsilon_0^2 \, h^2} \]

2. Substitution des Valeurs

a) Calcul du numérateur

Le numérateur est :

\[ m_e \, e^4 \]

1. Calcul de \( e^4 \) :

\[ e^4 = \left(1.602 \times 10^{-19}\right)^4 \]

Calculons d’abord \( e^2 \) :

\[ e^2 = \left(1.602 \times 10^{-19}\right)^2 = 2.566 \times 10^{-38} \quad (\text{approx.}) \]

Puis :

\[ e^4 = \left(e^2\right)^2 = \left(2.566 \times 10^{-38}\right)^2 \approx 6.579 \times 10^{-76} \]

2. Multiplication par \( m_e \) :

\[ m_e \, e^4 = \left(9.109 \times 10^{-31}\right) \times \left(6.579 \times 10^{-76}\right) \] \[ m_e \, e^4 \approx 5.992 \times 10^{-106} \quad (\text{en unités SI}) \]

b) Calcul du dénominateur

Le dénominateur est :

\[ 8\, \varepsilon_0^2 \, h^2 \]

1. Calcul de \( \varepsilon_0^2 \) :

\[ \varepsilon_0^2 = \left(8.854 \times 10^{-12}\right)^2 \] \[ \varepsilon_0^2 \approx 7.842 \times 10^{-23} \]

2. Calcul de \( h^2 \) :

\[ h^2 = \left(6.626 \times 10^{-34}\right)^2 \] \[ h^2 \approx 4.390 \times 10^{-67} \]

3. Multiplication par 8 :

\[ 8\, \varepsilon_0^2 \, h^2 = 8 \times \left(7.842 \times 10^{-23}\right) \times \left(4.390 \times 10^{-67}\right) \]

D’abord, multiplions les parties numériques :

\[ 7.842 \times 4.390 \approx 34.39 \]

Puis :

\[ 8 \times 34.39 \approx 275.1 \]

Pour les puissances de 10 :

\[ 10^{-23} \times 10^{-67} = 10^{-90} \]

Ainsi,

\[ 8\, \varepsilon_0^2 \, h^2 \approx 2.751 \times 10^{2} \times 10^{-90} = 2.751 \times 10^{-88} \]

3. Calcul Final de \( E_1 \)

En substituant le numérateur et le dénominateur dans la formule :

\[ E_1 = -\frac{5.992 \times 10^{-106}}{2.751 \times 10^{-88}} \]

Pour la partie numérique :

\[ \frac{5.992}{2.751} \approx 2.178 \]

Pour les puissances de 10 :

\[ 10^{-106} \div 10^{-88} = 10^{-18} \]

Ainsi,

\[ E_1 \approx -2.178 \times 10^{-18} \, \text{J} \]

4. Conversion en Électron-Volts (eV)

Pour convertir l’énergie de joules en électron-volts, on utilise la relation :

\[ 1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J} \]

Donc,

\[ E_1 \text{ (en eV)} = \frac{-2.178 \times 10^{-18} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \] \[ E_1 \text{ (en eV)} \approx -13.6 \, \text{eV} \]

Conclusion

L’énergie du niveau fondamental (\( n = 1 \)) pour l’électron dans l’atome d’hydrogène, calculée selon le modèle de Bohr, est :

\[ E_1 \approx -2.18 \times 10^{-18} \, \text{J} \quad \text{ou} \quad -13.6 \, \text{eV} \]

Cette valeur négative indique que l’électron est lié à l’atome et qu’une énergie équivalente doit être fournie pour l’en extraire (ionisation).

Étude du Modèle Atomique de Bohr

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