Calcul du nombre de désintégrations par minute
Comprendre le Calcul du nombre de désintégrations par minute
Le césium-137 est un isotope utilisé en médecine pour le traitement du cancer et en industrie pour la mesure de l’épaisseur de matériaux. Il émet des rayonnements bêta et gamma lors de sa désintégration.
Données:
- Activité initiale de l’échantillon de césium-137: 3700 becquerels
- Demi-vie du césium-137: 30 ans
Question:
Calculez le nombre de désintégrations par minute qui se produiraient dans un échantillon de césium-137 après 15 ans.
Correction : Calcul du nombre de désintégrations par minute
1. Calcul de la constante de désintégration (\(\lambda\))
La constante de désintégration \(\lambda\) est un indicateur de la rapidité avec laquelle l’isotope se désintègre. Elle est inversement proportionnelle à la demi-vie, ce qui signifie que plus la demi-vie est longue, plus la désintégration est lente.
Formule:
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \]
Données:
- \(T_{1/2} = 30\) ans
Calcul:
\[ \lambda = \frac{0.693}{30} \approx 0.0231 \, \text{année}^{-1} \]
2. Calcul de l’activité après 15 ans (\(A_t\))
L’activité \(A_t\) est l’activité radioactive restante après un certain temps \(t\). Elle diminue exponentiellement avec le temps en fonction de la constante de désintégration.
Formule:
\[ A_t = A_0 \cdot e^{-\lambda t} \]
Données:
- \(A_0 = 3700\) Bq,
- \(\lambda = 0.0231 \, \text{année}^{-1}\),
- \(t = 15\) ans
Calcul:
\[ A_t = 3700 \cdot e^{-0.0231 \times 15} \] \[ A_t \approx 3700 \cdot e^{-0.3465} \] \[ A_t \approx 3700 \cdot 0.7071 \] \[ A_t \approx 2616 \, \text{Bq} \]
3. Conversion de l’activité en désintégrations par minute
Pour convertir les becquerels (qui sont des désintégrations par seconde) en désintégrations par minute, il suffit de multiplier par 60.
Formule:
\[ \text{Désintégrations par minute} = A_t \times 60 \]
Données:
- \(A_t \approx 2616\) Bq
Calcul:
\[ \text{Désintégrations par minute} = 2616 \times 60 \] \[ \text{Désintégrations par minute} \approx 156960 \, \text{désintégrations/minute} \]
Conclusion:
Après 15 ans, un échantillon initial de césium-137 avec une activité de 3700 Bq aura une activité restante d’environ 2616 Bq, ce qui correspond à environ 156960 désintégrations par minute.
Calcul du nombre de désintégrations par minute
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