Calcul des Orbitales Atomiques de l’Hydrogène
Comprendre le Calcul des Orbitales Atomiques de l’Hydrogène
Les orbitales atomiques décrivent les régions de l’espace autour d’un noyau atomique où il est le plus probable de trouver un électron.
L’atome d’hydrogène, le plus simple de tous, est souvent utilisé comme modèle de base pour comprendre les orbitales atomiques dans des atomes plus complexes.
Cet exercice implique le calcul de l’orbitale 1s de l’hydrogène en utilisant l’équation de Schrödinger.
Objectifs:
1. Calculer la forme de l’orbitale 1s pour l’atome d’hydrogène.
2. Déterminer la probabilité de trouver l’électron dans une certaine région autour du noyau.
Données Fournies:
- Masse de l’électron, \( m_e = 9.109 \times 10^{-31} \) kg
- Charge élémentaire, \( e = 1.602 \times 10^{-19} \) Coulombs
- Constante de Planck réduite, \( \hbar = 1.054 \times 10^{-34} \) J.s
- Numéro atomique de l’hydrogène, \( Z = 1 \)
- Permittivité du vide, \( \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \) F/m
- Rayon de Bohr, \( a_0 = 0.529 \times 10^{-10} \) m
Question à Résoudre:
Calculez la probabilité \( P \) et interprétez le résultat en termes de la probabilité de trouver l’électron dans cette région spécifique autour du noyau de l’atome d’hydrogène.
Correction : Calcul des Orbitales Atomiques de l’Hydrogène
Données et Constantes:
- Masse de l’électron, \( m_e = 9.109 \times 10^{-31} \) kg
- Charge élémentaire, \( e = 1.602 \times 10^{-19} \) Coulombs
- Constante de Planck réduite, \( \hbar = 1.054 \times 10^{-34} \) J.s
- Rayon de Bohr, \( a_0 = 0.529 \times 10^{-10} \) m
Formule de la Fonction d’Onde pour l’Orbitale 1s
La fonction d’onde normalisée pour l’orbitale 1s est donnée par :
\[ \psi_{1s}(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0} \]
1. Calcul de la Probabilité
La densité de probabilité est le carré de la valeur absolue de la fonction d’onde :
\[ |\psi_{1s}(r)|^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0}\right)^2 = \frac{1}{\pi a_0^3} e^{-2r/a_0} \]
La probabilité de trouver l’électron dans une sphère de rayon \( a_0 \) est donnée par l’intégrale de la densité de probabilité sur le volume de la sphère :
\[ P = \int_0^{a_0} |\psi_{1s}(r)|^2 \cdot 4\pi r^2 \, dr \] \[ P = \int_0^{a_0} \frac{1}{\pi a_0^3} e^{-2r/a_0} \cdot 4\pi r^2 \, dr \] \[ P = \frac{4}{a_0^3} \int_0^{a_0} r^2 e^{-2r/a_0} \, dr \]
Substitution et Intégration
Changeons de variable pour simplifier l’intégration. Posons \( u = \frac{2r}{a_0} \), donc \( du = \frac{2}{a_0} dr \) et \( dr = \frac{a_0}{2} du \). Quand \( r = a_0 \), \( u = 2 \).
L’intégrale devient :
\[ P = \frac{4}{a_0^3} \int_0^2 \left(\frac{a_0 u}{2}\right)^2 e^{-u} \cdot \frac{a_0}{2} du \] \[ P = \frac{4}{a_0^3} \cdot \frac{a_0^3}{8} \int_0^2 u^2 e^{-u} du \] \[ P = \frac{1}{2} \int_0^2 u^2 e^{-u} du \]
Cette intégrale peut être résolue en utilisant l’intégration par parties ou en consultant une table d’intégrales.
La solution exacte est :
\[ \int u^2 e^{-u} du = -e^{-u}(u^2 + 2u + 2) + C \]
Ainsi,
\[ \int_0^2 u^2 e^{-u} du = \left[-e^{-u}(u^2 + 2u + 2)\right]_0^2 \] \[ = [-e^{-2}(4 + 4 + 2) + 2] – [-1(0 + 0 + 2)] \] \[ = 2 – (10e^{-2}) \] \[ \approx 2 – 1.355 = 0.645 \]
Donc,
\[ P = \frac{1}{2} \times 0.645 = 0.3225 \]
2. Interprétation
La probabilité de trouver l’électron dans une sphère de rayon égal au rayon de Bohr autour du noyau est d’environ 32.25%.
Cela montre une concentration significative de la probabilité dans cette région proche du noyau, conforme à l’interprétation physique des orbitales atomiques où la plus grande probabilité de trouver un électron est près du noyau.
Calcul des Orbitales Atomiques de l’Hydrogène
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