Activité résiduelle d’un radionucléide
Comprendre l’Activité résiduelle d’un radionucléide
Dans le cadre de l’imagerie médicale, le radionucléide Technétium-99m (⁹⁹ᵐTc) est largement utilisé en raison de sa demi‑vie courte et de ses propriétés radiochimiques favorables. Dans cet exercice, un patient reçoit une dose initiale de 740 MBq au moment de l’injection. Il est nécessaire de déterminer l’activité résiduelle après un temps écoulé de 3 heures pour évaluer la qualité de l’imagerie et la sécurité du patient.
Données:
- Activité initiale (A₀) : 740 MBq
- Demi‑vie (T₁/₂) du ⁹⁹ᵐTc : 6 heures
- Temps écoulé (t) : 3 heures
- Constante de décroissance (λ) : λ = ln(2) / T₁/₂
(où ln(2) ≈ 0,693147)
Questions:
1. Calculer la constante de désintégration radioactive (λ) du ⁹⁹ᵐTc.
2. Déterminer l’activité résiduelle A(t) après t = 3 heures.
Correction : Activité résiduelle d’un radionucléide
1. Calcul de la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\))
La constante de désintégration \(\lambda\) représente la probabilité par unité de temps qu’un noyau se désintègre. Elle est directement liée à la demi-vie (\(T_{1/2}\)) par la formule :
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \]
Cette relation exprime que plus la demi-vie est courte, plus la constante de décroissance est élevée.
Données :
- Valeur de \(\ln(2)\) : 0,693147
- Demi-vie, \(T_{1/2}\) : 6 heures
Calcul :
Substituons les valeurs dans la formule :
\[ \lambda = \frac{0.693147}{6} \quad (\text{en h}^{-1}) \] \[ \lambda \approx 0.1155245 \quad \text{h}^{-1} \]
Résultat :
La constante de désintégration est approximativement \(\lambda \approx 0.1155245 \, \text{h}^{-1}\).
2. Calcul de l’activité résiduelle \(A(t)\) après 3 heures
La décroissance radioactive est modélisée par la loi exponentielle suivante :
\[ A(t) = A_0 \times e^{-\lambda t} \]
où :
- \(A_0\) est l’activité initiale,
- \(\lambda\) est la constante de désintégration calculée précédemment,
- \(t\) est le temps écoulé.
Cette formule permet de déterminer l’activité résiduelle au bout d’un temps \(t\).
Données :
- Activité initiale, \(A_0\) : 740 MBq
- Constante de désintégration, \(\lambda\) : 0.1155245 h\(^{-1}\)
- Temps écoulé, \(t\) : 3 heures
Calcul :
Calcul de l’exposant \(\lambda t\) :
\[ \lambda t = 0.1155245 \times 3 \] \[ \lambda t = 0.3465735 \]
Calcul de l’exponentielle \(e^{-\lambda t}\) :
\[ e^{-0.3465735} \approx 0.7071068 \]
Calcul de l’activité résiduelle \(A(3)\) :
\[ A(3) = 740 \, \text{MBq} \times 0.7071068 \] \[ A(3) \approx 523.3 \, \text{MBq} \]
Résultat :
Après 3 heures, l’activité résiduelle est d’environ 523,3 MBq.
Conclusion
En appliquant la loi de décroissance radioactive :
- La constante de désintégration est \(\lambda \approx 0.1155245 \, \text{h}^{-1}\).
- L’activité résiduelle après 3 heures est \(A(3) \approx 523.3 \, \text{MBq}\).
Activité résiduelle d’un radionucléide
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